怎么用正弦定理证明梅氏定理？

梅氏(Menlaus)定理

三角形ABC，及点D、E、F分别在直线AB、AC、BC的三点。

则D、E、F***线当且仅当(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1。

证明：

证法一：假设D、E、F***线，首先过点C作平行AB的直线交直线DFE於G。

相似三角形的线段比例；

有相似三角形AED、CEG，得CE/EA=CG/AD；

有相似三角形FDB、FGC，得BF/FC=DB/GC；

因此有(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=(DB/GC)(CG/AD)(AD/DB)=1。

相反地，假设(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1，延长EF交AB於点D'(如下图二)：

求证D、D'重合。由梅氏定理，得知 (BF/FC)(CE/EA)(AD'/D'B)=1，所以得

(AD')/(D'B)=AD/DB，从而得(AD')/(AB)=(AD')/(AD'+D'B)=(AD)/(AD+DB)=AD/AB。

因此AD'=AD，即D与D'重合。

有兴趣的读者可以考虑以下的方法。

证法二：相似三角形的面积比例；

证法三：三角形的面积公式A=(ab sinC)/2。以下的网页有很多习题

梅涅劳斯定理与塞瓦定理