自由粒子的波动方程，写成指数形式的时候为什么有i，出现了虚数，但是用三角函数表示的时候是没有虚数的

可以对应，正如你说的，取实部即可。

比如一个波动方程 Z=A*cos(wt），可以写成Z＝Re[A*exp(iwt)]，用指数的形式进行运算，最后再把结果取实部就可以了

至于你说的有时候取实部有时候不取，主要看有名有定义复振幅，波函数A*cos(wt-kx)可以写成A*exp(-iwt)*exp(ikx)，如果用这个做运算，是需要取实部的，但是如果定义复振幅U=A*exp(ikx)，复振幅的乘积，恰好就是实际振幅的平房，U*U=A^2，U*U是指U的***轭乘以U，只是一个运算技巧而已