地震波的反射、透射和折射
前面讨论的是地震波在无限大、均匀各向同性介质中的传播特点。这仅是一种理论设想。在实际中，地下介质不可能是无限大的均匀介质，而只可能是局部均匀介质。假设有两层各自分别均匀的介质，两层介质之间就存在一个分界面，当分界面两边介质弹性参数不同时，称界面为弹性分界面。弹性波在传播中若遇到弹性分界面，波的动力学特点会进一步发生变化。对地震勘探来说，它具有非常重要的实际意义。因为地震勘探所利用的波动，常常是同这些界面上的反射、透射和折射有关。本节以一个弹性分界面为例，讨论波在弹性分界面上的变化规律。
8.4.1 平面波的反射和透射
如图8-10，设R为一个弹性分界面，R上部介质W1的速度为v1、密度为ρ1，下部介质W2的速度为v2、密度为ρ2。有一平面P波从W1介质倾斜入射到界面R，入射波射线与界面法线的夹角为α，α称为入射角；AB为波前面。在t时刻，波前面由AB到达A′B′，A′点与R相交。由惠更斯原理知，A′点可看作一个二次新点源，在W1介质中以v1速度向上传播（球面波），在W2介质中以v2向下传播（球面波）。再经Δt时间，B′点传播到界面的Q点，又产生一个二次新点源向介质四周传播。这时A′点在W1中的新产生的二次元波前面已到S面，A′点到S面的半径为v1Δt，在W2中的二次扰动元波前面到T面，半径为v2Δt。在W1中新波前面应是二次点源产生的元波前的包络，若将Q点的二次点源看成半径r=0的球面，则W1中的新波前面为Q、S的切线。射线为c、d。在W2中新波前面则为Q、T的切线，射线为e、f。
图8-10 平面波的反射和透射
从图中简单的几何关系可以看出，在W1介质中产生的新波前面QS，它同入射波波前A′B′在同一个介质内，称为反射波，反射波射线与界面法线的夹角α1为反射角。在W2介质中产生的新波前面QT，称为透射波。透射波射线与界面法线的夹角β为透射角。可以证明，入射角α、反射角α1及透射波β与介质速度之间满足以下关系
勘查技术工程学
该式称为斯奈尔（Snell）定理，p称为射线参数。该式反映了在弹性分界面上入射波、反射波和透射波射线之间的角度关系。其中也称
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如果界面两边速度分别为，包括不同波类（纵波和横波）的反射和透射，则斯奈尔定理可扩展写成：
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式中：α1、α2分别表示纵波和横波的反射角；β1、β2分别表示纵波和横波的透射角。
8.4.2 弹性分界面波的转换和能量分配
入射波遇到弹性分界面，波要产生反射、透射，反射角和透射角与入射角的关系均满足斯奈尔定理。这样弹性分界面将一个波变成了多个波，随之波的能量也要发生变化，这类问题属弹性分界面上的动力学问题，也就是属于弹性波动方程的边界问题。即根据弹性分界面上的边界条件求解弹性波动方程，确定各种波之间的能量分配关系。
8.4.2.1 假设条件和边界条件
1）设弹性分界面R两边的介质W1和W2都是均匀和各向同性的，它们的弹性系数和密度分别为：W1，λ1、μ1、ρ1；W2，λ2、μ2、ρ2，并有一平面P波在XOZ平面内入射到界面R，入射角为α。
2）第一组边界条件——应力连续条件。根据作用力与反作用力的关系，在界面R上，介质W1域内的质点作用于W2域质点的应力应该等于W2域质点作用于W1域质点的应力，即满足应力连续条件。
3）第二组边界条件——位移连续条件。当应力在介质的弹性限度内时，W1介质和W2介质在界面R上不会产生断裂和滑动，因此在界面上应满足质点位移连续的条件。
8.4.2.2 波的转换
假设弹性分界面两边的弹性系数不同，因此，在介质W1和W2中存在着四种不同的传播速度，它们分别是：
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vP、vS分别为W1中的纵、横波速度，vP、vS为W2中的纵、横波速度。
在W1中P波以α的入射角倾斜入射到界面R的O点，在界面R上应有两个应力分量，正应力和切应力，因而在界面R的O点将产生体应变和切应变，将O点看作二次新点源，即有两种不同类型的波分别在W1和W2中传播，这些波的射线与界面法线夹角满足斯奈尔定理。所产生的四个波连同入射波可用图8-11表示。
图8-11 纵波入射时波转换示意图
图8-11中P1表示入射波，入射角为α；P11表示反射P波，反射角为α1，P1S1表示反射S波，反射角为α2；P12表示透射P波，透射角为β1；P1S2表示透射S波，透射角为β2。α、α1、α2、β1、β2之间的关系满足（8.4-2）式。
在地震勘探中定义：同入射波波型相同的波称为同类波，即P11、P12为P1的同类波，常用P-P波表示；与入射波的波型不相同的波称为转换波，即P1S1、P1S2为P1的转换波，常用P-SV波表示。如果入射波为SV波，同样道理，可有同类波SV-SV波，转换波SV-P波。对于SH波入射，当界面为水平界面，介质为各向同性介质时，不产生转换波。
8.4.2.3 各种波的能量分配关系
设入射波P1为平面简谐纵波，则包括反射和透射纵、横波的5个波函数或位移矢量为式中：a 为入射波P1 的振幅值；为反射P波的振幅值；为反射S波的振幅值；为透射 P波的振幅值；为透射S波的振幅值；d 为单位矢量。
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r为射线方向或波传播方向。r用x，z坐标表示则可写成r=±xsinα±zcosα。式中正负号的确定方法为：r的x分量沿x轴增大为正，反之为负；r的z分量沿z轴增大为正，反之为负。
由P波和S波的质点振动特性可知，P波的质点位移方向与射线方向相同，而S波的质点位移方向与射线方向垂直，如图8-12。由此可得五个位移矢量各自在x，z方向的位移分量为：
图8-12 位移矢量示意图
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将位移分量代入位移边界条件
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及应力边界条件
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式中：U1R，W1R表示介质W1在界面上沿x，z方向的总位移分量，U2R、W2R表示介质W2在界面上沿x，z方向的总位移分量。
求解以上方程组，可得几种波在界面R（Z=0为界面）上O点所满足的能量矩阵方程
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式中：A PP=为反射 P波 P11的反射系数；A PS=为反射 S 波 P1 S1 的反射系数；B PP=
为透射 P波 P12的透射系数；B PS=为透射S波 P1 S2 的透射系数。
（8.4-8）式也称为Zoeppritz方程，它表示了反射纵波、反射横波、透射纵波和透射横波之间的能量分配关系。只要知道地层弹性参数、入射波振幅a及入射角α，求解（8.4-8）式线性方程组，则求得四个波的振幅系数。
同样，当SV波入射时，可用以上类似方法得到反射SV-SV波、SV-P波和透射SV-SV、SV-P波的振幅系数所满足的线性方程组。
当SH入射时，只产生反射SH-SH和透射SH-SH波，所得到的振幅系数公式是一个二阶线性方程组。
8.4.2.4 法线（垂直）入射情况
当入射角α=0时，称为法线（垂直）入射，即入射波射线与界面法线平行或射线垂直界面R。按斯奈尔定理，有：
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则方程式（8.4-8）变成
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解得：
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（8.4-10）式称为垂直入射时的反射系数和透射系数公式，由（8.4-10）式可得以下结论。
1）当α=0时，APS=BPS=0，不产生转换波。
2）令 Z=ρv 称为波阻抗。垂直入射时反射波 P11存在的物理条件是：Z1Z2，即界面R两边地层的波阻抗不相等（故反射界面也称为波阻抗界面）。
通常垂直反射系数用 Ri=表示。
3）当时，APP＞0，表示入射波与反射波相位一致。
4）当，APP＜0，入射波与反射波相位差180°，称此现象为半波损失。
5）BPP>0永远成立，BPP=1-APP，说明透射系数总是大于零，透射总是存在的。
8.4.3 地震面波
在弹性分界面上形成的反射波和折射波，从三维空间来说，它们随着时间的增加，在整个弹性空间的介质内传播，因而这些波统称为体波。相对体波而言，在弹性分界面附近还存在着一类波动，其能量只分布在弹性分界面附近，故称为面波。其中，由英国学者瑞雷（Rayleigh）首先于1887年在理论上确定的分布在自由界面附近的面波称为瑞雷面波。如果表面是完全“自由”的，则瑞雷面波的速度不依赖于频率，就是说瑞雷面波没有波散现象。如果介质表面上有一非弹性的疏松盖层，当考虑到盖层的因素时，所求得的瑞雷面波是有频散的。计算表明，瑞雷面波既有P波成分，又有SV波成分，但没有SH波成分。如果介质表面上有一个弹性的低波速的覆盖层，则覆盖层内部和该层与下面介质的分界面上可能出现SH波，这种波叫做勒夫波（Love Wave）。另外，在深部两个均匀弹性层之间还存在类似瑞雷面波的面波，称为斯通利（Stonely）面波。勒夫面波和斯通利面波均有频散现象。在地震勘探中，一般面波作为干扰波对待；但面波也可利用，称为面波勘探。在地面地震中，人们接收到的主要是瑞雷面波，所以我们主要讨论瑞雷面波。
8.4.3.1 瑞雷面波的形成及传播特点
瑞雷面波存在的物理模型是一个半无限弹性空间，空间内充满着弹性常数为λ、μ和密度为ρ的介质，其上面为空气。令xoy平面与自由面重合，z轴垂直自由面向下。为简便起见，仅讨论xoz平面内的二维问题（如图8-13）。由于瑞雷面波只存在于自由表面附近且沿x轴方向传播，因此研究发现，它的波场函数是两个分量（P，SV）组成的沿x传播且振幅沿z轴方向迅速衰减的一种振动，其两个位移位函数的形式为
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式中：k=，k P=，k S=，v R为面波速度。该式表示了面波的位函数振幅随 z 的增加而指数衰减。
由于瑞雷面波在自由面传播，则自由面的位移连续条件不成立（无意义）。应考虑自由面上的应力为零。
经数学推导即可得到：
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该式称为瑞雷方程。若将k、kP、kS代入，可见瑞雷面波的速度vR与频率无关，故自由表面的瑞雷面波无频散。当自由表面介质的泊松比σ=0.25时，vP=vS，即可求得 vR≈0.9194vS，从而有：vP＞ vS＞ vR。当取 z=0时的位移为 u0 和 w0，则 u0 和 w0 满足以下椭圆方程
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式中：c为常数。该式说明，瑞雷面波传播时，介质质点位移轨迹呈逆时针椭圆形运动，因此瑞雷面波为椭圆极化波，属于非线性极化波。椭圆的长轴在z方向，短轴在x方向。当z>0时，面波位移沿z方向指数衰减。瑞雷面波的位移极化轨迹及传播分别见图8-13和图8-14。
图8-13 瑞雷面波极化轨迹示意图
图8-14 瑞雷面波传播示意图
8.4.3.2 面波的频散现象
斯通利面波和勒夫面波均有频散，瑞雷面波在弹性体自由界面传播时无频散，但在界面上若有非弹性的疏松的盖层时，瑞雷面波也有频散。可见频散现象是面波有别于体波的一个重要标志，也是面波的一个重要特性。
所谓频散（波散）现象是指面波在介质中的传播速度是频率的函数，vR=vR（f），即速度随频率而变。面波亦是一个脉冲波，根据频谱分析可知，如果面波的传播速度是频率的函数，那么构成面波脉冲的每一个单频波都有其自己传播的速度，物理上称它为相速度v。由于相速度随频率而变，随着时间的变化，各单频波在传播过程中就会产生相位差。若考虑某一时间（ΔTg）内整个面波的传播距离Δx，即可用前时刻面波脉冲包络线的极大值与现时刻存在有相位差的各单频波合成后的面波包络线的极大值之间的距离表示（图8-15），定义该距离与时间的比值为群速度U，即相速度和群速度以及两者的关系为
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图8-15 面波的相速度和群速度
式中：λ为波长。
可以看出，群速度 U 可以大于或小于相速度V，它取决于是正值还是负值。正的称为正常频散，反之称为异常频散。由于频散现象，面波的包络变得越来越宽，幅度逐渐减小。面波的频散现象见图8-15。