【读书笔记】数学鉴赏与发现
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第一节从根号2到巴伯悖论。
一、根号2的出现——第一次数学危机
十大“美定理”:根号2是无理数的定理排在第七位，其次是“π是超越数”、四色定理和大数学家费马的一个结论。
毕达哥拉斯(约公元前580年-公元前500年)
古希腊几何学家欧几里得证明了根号2是无理数。
毕达哥拉斯兄弟:他是“哲学”和“数学”的创始人。前者的意思是“智力爱好”，后者的意思是“可以学到的知识”。毕达哥拉斯学派的核心观点是“万物皆数”，即宇宙万物都可以追溯到整数或整数的比值。这个学派发现了勾股定理，但也引发了第一次数学危机。
二、无穷小是否为零——第二次数学危机
牛顿和莱布尼茨创立的微积分是以无穷小为基础的，但是无穷小到底有多小呢？牛顿推导的时候会把无穷小作为分母，然后把无穷小的数截掉。那是无穷小的零吗？如果是零，就不能做分母，如果不是零，就不能截除。这是微积分中不精确的地方。
1734被主观唯心主义哲学的先驱乔治·贝克勒质疑，导致了第二次数学危机。
这场争论一直持续到19世纪。100年后，法国著名数学家柯西以及后来的维尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人建立的极限理论，为微积分理论奠定了严格的逻辑基础。
三、巴伯悖论——第三次数学危机
19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，最终使数学科学的大厦稳步上升。
然而，英国哲学家伯特兰·罗素提出了一个论断:集合论不是绝对严格的，它是有缺陷的。比如理发师要给一个不剪自己头发的人剪头发，他要剪自己的头发吗？如果你不给自己理发，那么符合条件，那么你就应该给自己理发。如果可以给自己理发，你不符合条件，就不应该给自己理发。
第二节从欧几里得到罗巴切夫斯基
1.欧几里得和《几何原本》
《几何原本》是公元前3世纪欧几里得的著作，被誉为“数学圣经”。
古希腊亚历山大学派早期的三位数学家:欧几里德、阿波罗尼奥斯和阿基米德。
高斯(19世纪)是继牛顿之后公认的“数学家之王”。发现了非欧几何的存在(可以证明平行公理)，但没有提出。
二、罗巴切夫斯基与非欧几何
一般认为非欧几里得几何的创始人是罗巴切夫斯基和波尔约。
罗氏几何和欧氏几何的本质区别在于它们的平行公理不同。
Flo几何还包括黎曼几何。
黎曼是高斯的关门弟子。
德国科学家克莱因对非欧几何给出了统一的解释:欧几何称为“抛物线几何”，罗氏几何称为“双曲几何”(三角形内角之和小于180度)，黎曼几何称为“椭圆几何”(三角形内角之和大于180度)。
康德的唯心主义。
非欧几何的发现史，也是几何学中唯物主义和唯心主义的斗争史。
第三节从勾股定理到费马猜想
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，被称为“几何学的明珠”、“永恒的第一定理”。
毕达哥拉斯证明了毕达哥拉斯定理。
中国在西周的《商高》中证明了勾股定理，比西方早了500多年。
一、勾股定理的证明
赵爽的方法:
数学最高奖——菲尔兹奖
二、勾股定理的代数研究
在勾股数的统一表达上，一般采用以下公式:
17世纪，费马猜想:
x ^ n+y ^ n = z ^ n形式的方程，当n >时；2，找不到一组正整数解。
欧拉证明了当n=4和3时，不存在正整数解。
英国数学家安德鲁·怀尔斯最终在1995年证明了费马猜想。
第四节从周易八卦到二进制数
莱布尼茨是一位百科全书式的学者，他发明了微积分和二进制系统。
《周易》有云:太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。坤、艮、阚、荀、贞、李、回、甘。“关闭状态”由0表示。
第一节完全数和亲和数
1903年，柯西发表了一篇学术报告，2 67-1 = 193707721x 761838257287，由于他否定了“2 67-1，否定了梅森的猜想。
2 P-1 (P是素数)在数论中称为梅森素数。人们找到的大素数基本上都属于梅森素数。
质数也叫质数。
首先，完美的数字
一个数等于它的所有因子之和(不包括它自己)，是一个完全数。比如6=1+2+3，那么28也是。(扩展:月球绕地球28天。中国古代有六艺:礼、乐、射、御、写、数。秦始皇以六为国数，天上有28颗星。)
如果2 n-1是素数，那么自然数2 (n-1) x (2 n-1)一定是完全数。欧几里德证明了这个命题，并给出了下面是一个完全数。当n=2，3，5，7时。
古希腊数学家尼各马科斯把自然数分为完全数、丰数和亏数三类:等于其所有真因子之和的自然数称为完全数，大于其所有真因子之和的自然数称为丰数，小于其所有真因子之和的自然数称为亏数。
即使是完全数也对应着梅森素数的本质。
第二，亲和数
220的所有真因子之和是284，284的所有真因子之和是220。毕达哥拉斯把这两个数称为“亲戚的数目”或“朋友的数目”也就是说，两个自然数中的任何一个数都是另一个数的真因子之和，那么这两个数就是亲和数。
在1636中，费马发现了第二对亲和数17296和18416。两年后，笛卡尔发现了第三对亲和数:9437056和9363584。
在1747中，欧拉直接列出了61对亲和数，虽然有两对是错的。
后来陆续找到了几千对亲人。
随着电子计算机的诞生，发现1百万以下的自然数只有42对，1百万以下的只有13对。
第二节梅森素数
梅森素数有无限多。
一、纸笔微积分时代的艰辛探索
纸笔微积分时代，只找到12个梅森素数。
二、机器计算时代的重大突破
互联网梅森素数搜索(GIMPS)项目在2018年公布了51梅森素数(2 82589933-1)，这是人类迄今为止发现的最大的素数。
第三，结论
寻找梅森素数有助于改进传统的计算机加密算法。
第三节水仙花和卡普列加的数量
水仙号:传统名称为“三次回归号”或“自幂号”153=1^3+5^3+3^3
如果一个n位自然数等于每个数位的幂之和，则称为n位n次回归数。
桃花数:1634 = 1 4+6 4+3 4+4 4。
有人称之为花数或花数。
在1986中，数学老师Anthony Dilana证明了N位数最多只能通过60位数成为回归数。
第二，凯普莱特数
把一个数分成两半(如果是奇数，高位补0)，加起来，然后平方，正好是原数。这样的数称为“卡布利特加数”或“雷劈数”，也叫“分平方重制数”。这样的数字是2025，3025，9801等等。
(x+y)^2 = 100x+y
最小凯普莱特数是81 ((8+1) 2 = 81)。
第四节角落里的珍宝
一、最神秘的号码142857
1/7 = 0.142857 ...
数字142857从1乘以6后，出现一个数字周期象限。
第二，回文
从左向右读和从左向左读完全一样。
1234567987654321次称为橄榄数，也是一个完整的平方数。
第三，自我控制的数量
平方的尾数等于数本身，这样的数称为自守数，例如25x25=625。
第四，最不吉利的数字是13
在东方，13是一个幸运数字。佛教十三派传入中国，代表功德圆满；布达拉宫13层，天宁塔13层。
但是在西方国家，人们更害怕13这个数字。耶稣的门徒犹大背叛了耶稣，13人参加了最后的晚宴。晚宴的日期恰逢13，给耶稣带来了苦难和不幸。所以酒店没有13楼层，机场也没有13登机口。
五、奇异幂等和
以下两组数的幂之和相等:
从零次幂和到八次幂和，都是相等的，但是九次幂和与两组数相等的现象消失了。
1900年，数学家希尔伯特提出了23个著名的数学未解问题，被称为“希尔伯特问题”。
2000年，美国克莱数学研究所提出“七个千年数学问题”(奖金654.38美元+0万)。
第一节美学数学定理:欧拉公式和巴塞尔级数
一、欧拉公式
第二，巴塞尔系列
精确计算所有非零自然数平方的倒数之和。欧拉论证得到的结果以欧拉的家乡瑞士巴塞尔命名。这个论证使用了麦克劳林级数。
巴塞尔级数的推广产生了黎曼猜想:
这个函数的零点，除了s=-2，-4，-6...都分布在复平面上实部为1/2的直线上。
宇宙进化的密码:黄金分割和斐波那契数列
首先，黄金分割
从毕达哥拉斯出发，对于任意给定的线段AB，要在其上找一个点C，由点C分成两条线，使较长线段的长度与整条线的长度之比等于较短线段与较长线段之比。比例为(/√5-1)/2，约为0.618。
第二，无处不在的黄金分割
北纬30°线贯穿四大文明古国。
肚脐、咽喉、膝盖和手肘是人类生存的四个关键部位。
22 ~ 24℃我们感觉最舒服，因为正常体温37℃和0.618的乘积是22.9℃..
用于建筑:帕台农神庙、印度泰姬陵、巴黎圣母院、法国埃菲尔铁塔。
达芬奇的《蒙娜丽莎的微笑》和维特鲁威人。
五角星和正五边形。
第三，斐波那契数列
向日葵花的花瓣是21，34，55。这些数字与斐波那契数列有关:1，1，2，3，8，13，21，34，55。....
“兔子繁殖问题”
斐波那契数列与黄金分割有着内在的联系，相邻的两个斐波那契数列随着序号的增加逐渐接近黄金分割比。
黄金矩形:新正方形的边长等于两个最近的正方形的边长之和。
第三节是东方数学的代表作:中国的剩余定理
“中国剩余定理”(也叫孙子定理)是数论的基本定理，与威尔逊定理、欧拉定理、费马大定理齐名，并称为数论四大定理。
源自孙子的计算，即一个整数除以3，余数是2，除以5，余数是3，除以7，余数是2。求这个整数。(答案是105n+23)
解决方案:70 x2+21x 3+15x 2-105n
秦的《九章》给出了一个笼统的表述，“大发展求一技”。
韩信的点兵就是类似问题的代表。
第四节数学珠穆朗玛峰:哥德巴赫猜想
“自然科学的女王是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。”
素数(也叫质数):只能被1和它本身整除的数。
"任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和."
德国数学家哥德巴赫。
二、哥德巴赫猜想的艰辛探索
“缩小包围圈”
1966年，陈景润经过七年的努力，证明了“1+2”:每一个足够大的偶数都是一个素数加上不超过两个其他素数的乘积。
本章的附录
一、最美的数学公式:
印度数学天才拉马努金发现:
二、“孪生素数猜想”
“孪生素数猜想”:素数P有无穷多个，使得p+2也是一个素数。
陈景润给出了证明。
三色或四色猜想
美国数学家在计算机上花了1200个小时，做了1000亿次判断，验证了猜想。
2016吉林市数学会于成仁用数学方法证明世界三大数学难题之一的“四色定理”。
第一节数学问题解决的内涵、意义和水平
数学问题解决贯穿于数学学习的全过程。
等差数列求和公式:
第二节为发现而解决问题
第一，追求解决问题方案的多样化
二，追求解题方案的最优化
三，追求生成性思维的问题
第一节细数林中奇葩——金蝉脱壳
第一，金蝉出壳，直至死亡。
两组数，和相等，平方和相等。同时从左向右擦除，或者从右向左擦除，性质保持不变。
两组数的幂之和相等。
其次，构造一个等幂和数组
您可以从已知数组生成新数组。
第二节冰雹游戏
一.角谷静夫系列
如果是偶数，就变成m/2；如果是奇数，就变成3m+1。重复这个操作，最后一个数无一例外是1。
二、“123”系列
任意写出一个自然数，写出偶数、奇数、整数的个数，重复这个操作，最终得到123。
三、“6174”系列
印度数学家卡普列加发现，写出一个四位数，从最大到最小排序得到一个数，从最小到最小排序得到另一个数，将两个数相减(减少大数)，重复这个运算，最后的数是6174。
第三部分论述:数学发现中的观察和实验
一、科学观察和科学实验
二、数学观察和数学实验
第一节幻方和幂等和问题
《洛书》
洛书中的每个小圆圈可以代表一个1，用数字的形式写成如下:
这是三阶幻方，图中每一行、每一列、每一对角线三个数之和为15。
一种容易构造任意奇数阶幻方的方法(劳伯发明的阶梯法)；
一、内涵丰富的三阶魔方
幻方与幂等和数组的存在有某种神秘的内在联系。图6-2中第一列和第三列的平方和相等。
一种生成幂等和数组的新方法；
第二，有趣的四阶幻方
一个著名的四阶魔方是印度太素神庙石碑上的魔方:
每一行每一列的对角线之和是34，随便画一个正方形，四个角上的四个数之和也是34。更神奇的是，将行(或列)移到另一边，得到的正排列仍然是一个魔方，如图6-4所示。
三、魅力无穷的N阶魔方
第二节四面体体积公式的发现
三角形的公式是
S=(1/2)xaxh
或者
S=(1/2)xaxbxsinθ
四面体的体积公式是
V=(1/3)xSxh
那么四面体有没有类似三角形面积公式的第二种表达方式呢？
给定三角形的两条相邻边A和B，对边是C，三角形的两条相邻边之间的夹角为:
cosθ = (a^2+b^2-c^2)/2ab
第三部分论述:数学发现中的归纳和类比
推理被视为数学核心素养的重要元素。
推理一般分为感性推理和演绎推理。很多数学知识的自我建构过程，往往就是一个“先猜后证”的过程。“猜”就是合理的推理，体现在归纳、类比等推理方法中。“证明”就是演绎推理，也叫议论文推理。
第一，归纳推理、类比推理和演绎推理
归纳推理是从特殊到一般的推理，归纳一般可分为不完全归纳和完全归纳。
类比推理是从特殊到特殊的推理，也称为“类比”。
演绎推理是从一般到特殊的推理。
二、数学发现中的归纳推理
一个数学问题一旦与素数相关联，就可能成为一个有意义的研究对象。
哥德巴赫猜想:任何大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。
巴歇“象限定理”:任何自然数只能用一、二、三或四的平方之和来表示。(除了7=4+1+1+1，应该用四个平方之和表示)。
费马质数:
费马在1640年提出这个猜想，但在1732年被欧拉否定，因为当n=5时不成立。
第三，数学发现中的类比推理
第一节斯坦纳-莱默斯定理
《几何原本》中提到，等腰三角形两个底角的平分线等长。
莱默斯提出了这个命题的逆命题:有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。
第一个回答这个问题的人是瑞士几何学家斯坦纳。
第二季度平均人数
给定任意自然数，执行以下操作:
(1)先计算它的平方数；
(2)将平方数分成两部分，得到两个新数；
(3)将相除的两个数相加或相减。
如果得到的结果是一个完整的平方数，则原来的数称为整平数。例如，49:49 ^ 2 = 2401-> 24+01=25=5^2
如果数字A的个数n是一个奇偶数，10 A-n也是一个奇偶数，那么10 A-n就是n的对称奇偶数..比如51和49。
第三部分讨论:数学发现中的一般化和特殊化。
帕斯卡六边形定理:如果一个六边形内接一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点都在同一条直线上。
第一节好的教育需要好的老师
好老师的四个标准:理想信念、道德情操、扎实学识、善良。
求知欲和探索欲是有本质区别的。好奇心是学习者对知识学习的内在需求，撤回的是对前人经验积累的崇拜；探索的欲望是内心想要了解未知世界的欲望，退缩是对未知世界的开发。
第二节发现教学:寻找数学知识教学之路
误区:知识决定一切，但也要注意是否理解，是否善于思考。
为发现而教:在数学问题解决教学中寻找出路
理想数论，一个全新的数学分支，得益于对费马猜想的探索。
金斯堡的七桥问题成为图论的源头，梅森素数的研究也推动了计算机技术的革命。
悖论与解:(1)芝诺的无限悖论；(2)骗子悖论；(3)关于解决矛盾。
被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想至今没有推导出来。
麦克劳克林系列:
更多的数学家似乎对黎曼猜想更感兴趣。
2是最小的素数(也叫质数)，也是唯一的偶数质数。
结束