高等数学

这个立体是个曲顶柱体，底面是xoy坐标面，然后围上一个圆柱面x^2+y^2=Rx，最上面再罩上个开口向上的圆锥面z=√(x^2+y^2)。立体在xoy坐标面上的投影区域是D:x^2+y^2≤Rx，z的范围是0到√(x^2+y^2)。三重积分用柱面坐标系，在平面极坐标系下，D表示为θ从-π/2到π/2，r的范围是0到Rcosθ。

体积V=∫∫∫dv=∫(-π/2到π/2)dθ∫(0到Rcosθ)dr∫(0到r)rdz=∫(-π/2到π/2)dθ∫(0到Rcosθ)r^2dr=1/3×R^3∫(-π/2到π/2) (cosθ)^3dθ=2/3×R^3∫(0到π/2) [1-(sinθ)^2]dsinθ=2/3×R^3×2/3=4R^3/9。