（一）模糊数学相关概念和模糊评价模型
1.相关定义
设 是论域X到［0，1］的一个映射，即 ：X→［0，1］，x→ （x）。 称是X上的模糊集，而函数 （.）称为模糊数学集 的隶属函数， （x）称为x对模糊集 的隶属度。
2.模糊评判的基本要素
应用模糊数学方法解决综合评判问题，要求所讨论的问题具有以下特征：即评判客体在概念上具有模糊性，评判主体在思维方法上具有多样性，评判结果在表达式上具有口语化的特征。这三点并称为模糊评判的三个基本要素。
3.模糊评判模型的一般形式
已知一个有限集合X
X＝｛x1，x2，…，xn｝
X中的元素xj（j＝1，2，…，n）表示评价对象
又已知一个有限集合K
Ks＝｛k1，k2，…，kn｝
K中的元素ki（i＝1，2，…，m）表示不同的评价指标
令ui为第i个评价指标ki∈K的隶属函数，即
ui＝μ（ki），ui∈［0，1］
则U为一个有限的模糊子集，即
U＝｛u1，u2，…，un｝
所谓模糊评判问题的数学表达即是寻求一个模糊集合B
B＝{b1，b2，…，bn｝，bj∈［0，1］
B中元素bj表示第j个被评价对象的综合对象的综合评价指数。由于隶属函数uj适用于所有的评价对象xj，则可得到一个评价矩阵R称为模糊关系。即
R：U×X→［0，1］
R＝（rij）m×n＝（rm1，rm2，…，rmn）
式中：rij＝R（xj，ui）∈［0，1］表示第i个评价因子对第j个评价等级的隶属度。
给定一个模糊向量
A＝｛a1，a2，…，am｝
A中的元素ak（k＝1，2，…，m）表示第k个模糊算子相当于评价的权重，且
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有了评判矩阵R和权重矩阵A两个矩阵后，即可进行复合运算评判，可得模糊子集，记作
B＝A×R＝（bj）n＝（b1，b2，…，bn）
4.确定评价因子
在模糊综合评价中，评价因子的选择至关重要。海水入侵研究中，水化学特征是判断海水入侵的直接依据。迄今为止多采用单一的指标分析。大多是以Cl-含量超过250mg/L作为海水入侵标准。但是在海水入侵过程中，影响判断海水入侵程度的因子众多，在不同的评价区域、不同的评价时段内，各因子主次关系也不同，评价是很难将所有因子全面考虑。鉴于此，本着评价指标的系统性、客观性和可操作性的原则。选取了五个指标（Cl-，TDS， ， /rCl-和SAR）作为评价海水入侵程度的综合指标。即
因数集u＝｛u1，u2，u3，u4，u5｝＝｛Cl-，TDS， ， /rCl-，SAR｝
Cl-：海水中最稳定常量元素，且测量比较简单，故作为首选指标；
TDS（溶解性总固体）：溶解性总固体是指水中所含各种离子、分子及化合物的总量，是地下水化学成分的重要标志。
：属于微量元素，在海水中较稳定，而陆地地下淡水中含量较少，受到浸染后，其含量随海水入侵程度的发展变化较为敏感。]]
/rCl-： 和Cl-作为淡水和海（咸）水中的特征阴离子，其离子比 /rCl-（r表示毫摩尔）能清楚反映两种水体的差异。]]
＋是海水中首要的阳离子，其含量比淡水要高出2～4个数量级。美国盐渍土实验室提出的SAR来衡量灌溉水质的钠危害程度。
其表达式为
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5.确定评语集
被浸染的水体依其程度轻重分为淡水、微咸水、咸水，各项化学指标及其动态多在较高浸染水平上趋于钝化，所以为突出反映海水入侵前缘的变化，应该在其过渡带（微咸水）加以细化。因此，将海水入侵程度分为四级：无或轻度Ⅰ级（淡水）、轻度浸染Ⅱ级（微咸水），较严重浸染Ⅲ级（微咸水）、严重浸染Ⅳ级（咸水），即
评语集：v＝｛v1，v2，v3，v4｝＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
6.评价指标数据来源与指标的量化
2011年枯水期，我们在烟台市选取典型地点进行水质监测。Cl-的等级量化主要依据世界卫生组织制定的饮水标准确定；TDS采用我国现行通用的淡水至咸水的溶解性总固体指标值； 、 、rCl-和SAR的量化值，依据烟台市65个观测井的实测水样分析资料，以Cl-含量为参照对四个指标的分布范围及其平均值进行统计分析，结果见表2-3。
7.隶属函数确定
建立评判矩阵的关键是确定隶属函数，这里选用比较成熟的线性隶属函数：用降半梯形型和升半梯形型隶属函数形式求两端等级的隶属度；用对称山型隶属函数形式求中间等级的隶属度。
表2-3 海水入侵指标的等级划分
（1）正降半梯形隶属函数
对于数值越大等级越高的评价因子（Cl-，TDS， ，SAR）；采取正降半梯形隶属函数，如图2-6所示。
图2-6 正降半梯形隶属函数
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（2）反降半梯形隶属函数
对于数值越大等级越低的评价因子i（ /rCl-），其隶属函数采用如图2-7所示的反降半梯形隶属函数：
图2-7 反降半梯形隶属函数
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8.评判矩阵R（评判因子与评价等级之间的模糊关系）
依据上述隶属函数，分别求其相应各级的隶属度rij（i＝1，2，3，4），并确定各因子的模糊关系矩阵R，取U和V分别为评价因子集合与海水入侵程度分级的集合，将数据一一代入各个具体的隶属函数中，可计算出模糊矩阵R如下：
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9.建立评价因子间的模糊关系
本模型将采用超标指数赋权法，但将权值归一化，这样既突出了海水入侵程度评价中主要指标的作用，又考虑了不同指标标准值的差异，计算简便。其数学表达式为
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式中：xi——各指标实测浓度，mg/L；
ai——各指标各等级代表值，mg/L；
si——各指标各等级代表值（ai）的算术平均值；
n——分级数。
对所求得各项指标权重进行归一化处理，即
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