数学札记
1.数学教育是中小学的基础学科教育。和其他学科一样，它的教育意义不仅限于掌握学科，还体现在它对人的素质发展的有效促进，而人的素质是人的文化素养中最深刻、最有效的部分之一。
2.经济发达国家数学教育的改革方向:学校数学的重心从双重任务——向大多数人教授最少的数学，向少数人教授高等数学——转向单一中心，向全体学生教授数学最重要的核心。从基于权威传递的模式到以启发学习为特征的以学生为中心的实践活动。从强调为后续内容做准备，到强调学生现在和未来需要什么。从原来的强调一张纸一支笔，到计算器和电脑的综合运用。
3.中小学数学包含着促进人未来发展的因素。这是人的数学素质，其核心是人的思维素质。
4.数学教师的教学经验有三个层次:展示解法、展示思路、展示寻找思路的过程。
5.数学教育的意义在于用学科本身的素质培养人、启迪人、丰富人，促进人的素质全面发展。
6.数学教育是一种文化，它使人们获得数学素养，更好地理解和欣赏现代社会的文明；它是一种方法论，使人善于生活和做事，能在现代化中提高工作效率；它是一种精神和态度，使人实事求是，持之以恒，不懈追求；是“思维的体操”，让人思维敏锐，表达清晰。
7.数学的重要特征——抽象性、严谨性和系统性。
8.数学思维教育的意义在于培养人的数感、数学概念和数学思想。数学教育就是拓展人们头脑中的数学空间。
9.数学相关能力——数学化、公理化、形式化。
10，努力将外在现象数学化，关注现象的数学方面，关注空间与数量的关系，处处函数依赖。
11、数学，培养学习的意志，培养人的概括能力，培养人看问题的意识，培养人的抽象意识，培养人的良好思维习惯，形成良好的思维策略，增强人的反应能力，提高人的思维器官。
12、数学教育的目的:(1)，通过“数学常识”和“数学思维能力”的结合，培养数学智能；(2)培养有数学素养的人。“数学素养”:知道数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学思维方法。(3)通过练习学习数学技能——适合学习事实和技能。通过解决具有某些特征的情境，我们可以学习解决问题的一般方法，而这些特征被用来定义一个真正的问题——适合于学习如何发现和探索、重新发现数学和学习如何学习的技能。
13，数学学习的目的从掌握“数学事实和技能”转变为掌握“解决问题的一般方法”，即“数学思维”，这是数学教育观念的重大更新。
14，理解数学的四个层次:(1)，形式理解。逻辑思维训练应该是数学学习中的基础训练。(2)发现层面的理解；(3)直觉——具体理解；(4)直观理解。
15，一般认为数学是由严格的逻辑组成的科学，即使和逻辑学不一样，也大致相同。但实际上，数学与逻辑无关。数学当然要遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像语法在文学中的作用一样。写符合语法的文章和按语法写小说是完全不同的。同样，进行正确的逻辑推理和堆砌逻辑形成数学理论是完全不同的问题。数学和逻辑在本质上是不同的。
16.数学上千万不要把逻辑车放在启发式马前面。
17，只有知道结论是如何得出的，才能真正理解结论。再现或体验发现过程是数学家学习和研究数学的绝妙方法。最好的学习方法就是去做——提出问题，解决问题。最好的教学方法是让学生提出问题，解决问题，而不仅仅是传授知识——鼓励行动。
18.数学很抽象。理解数学的一个方面就是赋予它直观具体的意义。
过分强调数学的形式结构是错误的。
20.抽象只有在坚实的经验基础上才有意义。另外，抽象概念引入后，要用具体问题来说明其有用性。
21.学好近世代数的方向是强调几个基本概念，如对称性、连续性、线性等。
22.几何直观仍然是理解数学最有效的渠道。几何直觉是指抽象的事物可以像绘画一样在你的脑海中被描述和思考。
23.数学教学与人的素质发展相结合是数学教育最重要的目的。
24.几何是数学上的巧合，是“直观空间帮助记忆的符号”，是“图形公式”。
25.数学真正想做的是解决具体问题。理解一个理论最好的方法是找到一个具体的问题，然后研究这个理论的一个样本例子，一个可以解释一切的典型例子。
26、对于一个数学理论，给出典型例子、反例、特例(即特例)等。，默城专门了解这种数学理论的方法。
27.逻辑用于证明，直觉用于发明。
28.在理解数学的过程中，领悟推理链中所隐含的整体性、有序性、和谐性，达到对推理链的整体把握，甚至能够预见证明，这就叫直觉。
29.记忆在数学中很重要，但没有必要记住数学事实。
30.数学直觉意味着不严格；意味着可见；它意味着证明缺乏合理性和可信度；意味着不完整；意味着依靠物理模型或者一些主要的例子；它意味着与细节或分析相对的概括性或综合性。
31，理解比证明更重要。
32.数学思维教育要求学生通过自己的思维去学习。
33.当前教育的缺陷:有的采取注入式、题海式的战术，把学习数学仅仅看作是感知和认知，弱化或取消了它的中心环节——思维。有些数学思维活动只被视为形式逻辑思维，忽视了从整体上看问题的辩证的、发展的思维活动。
34.如果问题给学生提供了一个合适的思考情境，就会极大地调动他们的思考热情。
35.在理解和不理解之间有一个广大的、中间的、灰色的区域。
36.学生从无知到求知的实际思考过程比我们想象的要负责任得多。学生的思维过程不是一次完成的，而是充满运动、变化、相对性等辩证性质的。
37.教师往往希望学生的认识从一开始就固定在“正确”、“合理”、“严格”、“简明”的模式中，忽视了他们不知道、知道得少、知道得多的辩证心理过程。
38.在数学教育中用“动”学“静”，让静态的定理、公式、定律具有动态的生命，能够活跃在学生的思维中。
39.数学史发展的三个阶段:一是在算术和几何的第一阶段，对象的具体性被抛弃；第二，在通向算术符号的第二阶段，特定的数字和特定的量被遗漏了；第三，最后是现代数学的第三阶段，不仅省略了对象的性格，而且省略了它们之间的依赖关系。
40.整体思维是指注重对对象整体把握的思维倾向——几何思维。
阶乘思维是指专注于将一个问题分解成一系列子问题，然后逐步求解的思维倾向——代数思维。
41.整体思维方式在实际教学中往往被忽视。一方面，人们没有意识到整体思维在人们的数学思维中是不可或缺的；另一方面，成年人往往很难回忆起那些年自己思维的产生和发展的过程，所以他们认为孩子的学习是建立在离散思维的基础上的，表现在成年人给孩子写的课本和练习册都是小步渐进的西方思维方式。
42.在更高层次的形象思维中，我们对形式和逻辑做了一些让步，比如语言的准确性，符号的采用，推理的基础等等。换句话说，它把量的模糊性和推理形式的模糊性换成了质的生动性和形象性。
43、数学形象思维的培养是数学教学改革的重要组成部分。
44.在实际思维中，当抽象思维无法被算法延续时，必须借助图像找到抽象的方向，找到抽象思维(解决问题)的新机会。抽象思维的结果也可以用形象的形式表现出来，于是就出现了所谓的“简单解释”的表达方式。简单解释就是一个从形象到抽象，从抽象到形象的过程。
45.为了使学生充满创造精神，必须注重从求同到求异的思维培养。
46.我们往往过分强调学生的演绎思维，而忽视引导学生进行合理的推理。
47.合理推理包括归纳推理和类比推理。
48.合理推理是一种可能性推理，是根据人的经验、知识、直觉和感觉得出一种可能性结论。
49.实践表明，在大量毕业生中，该学科的常识性和工具性功能远未发挥出来。原因不是知识无用，而是缺乏引领知识的数学概念。要把知识、形式训练和知识的社会意义统一起来，就必须进行数学概念教育。
50.由于考试的影响，传统的学科教学一般会逐渐转移到教学过程的最后。所谓“外围”，是指那些以非基本功和技术为骨干的题目。所以对形成一个人的数学概念，激发人最积极的思维作用不大。
51.创造性思维一旦被教会，就失去了创造的意义。
52.思考主要靠启蒙，不主要靠教导。教得越清楚，学习者就越不需要思考。即使所教的是个例，也只是增加了知识存储量，不一定能让人在新形势下提出要求。
53.教师启迪思维的工作面:(1)。激发学习兴趣，激发学习动力，营造成功教育的氛围；(2)创设问题情境，增强解决问题的内驱力；(3)转化新问题。
54.衡量数学教学质量的标准之一是教学能否有效拓展人们的现实数学空间。数学空间不仅仅是由一些后天获得的知识形成的，更重要的是借助于所学知识的生长点和开放面以及数学思维过程，获得一种与数学相关的能力，从而使数学空间具有一定程度的开放性，包括:数学化——人们用数学方法观察现实世界，分析和研究各种数学现象，组织现实世界的过程。我们学习数学，最重要的是学习数学化。同样，我们学习的是公理化知识而不是“公理化”，“形式化”而不是形式系统。
55.“培养数学智能”的提法指出，数学智能的构成和培养途径是“数学常识”和“数学思维能力”的结合。
56.数学教学结束后，学生所学的数学知识会越来越多地被遗忘。但是，如果教学方法正确，学生在数学教学过程中对所学知识的理解达到了应该达到的程度，那么他们几乎会从所学的全部内容中提取出最基本、最本质、最重要、通常也是最简单的部分，并永远记住，达到想忘也忘不了的程度。这一小部分是“数学常识”。所以学生的数学知识要经历一个“少-多-少”的过程。
57.应试教育往往不可能让学生达到他们应该达到的理解水平，所以学生在完成了应试的任务后，很快就会忘记学过的数学。
58.长期以来，由于应试教育的影响，数学教育只注重学习现成的知识结论、技能和技巧，而忽视了学科基本精神、数学基本态度和方法的培养和训练。特别被忽视的一个方面是数学概念的教育。数学概念是指人们对一个数学对象或过程的起源和本体的看法和意识，包括为什么、如何以及人们对这种数学知识的看法。
59.阿清诗人袁枚在《随园诗话》中指出:“学问就像弩，就像箭，知道去引它，释放能量去捕捉它”。天赋-智力，学习-知识，知识-洞察力，知识。知识是解决问题的基础，智能是将知识转化为解决问题的工具，而洞察力则引领着知识和能力的应用方向、方法和途径。没有后者，知识和能力就找不到用武之地。
60.数学教学中思维教育的主要方向是:1 .如何培养学生的创造性思维；第二，如何把传授知识和培养思维能力统一起来。
61，对于学生来说，只要把要学习的知识作为要创造的结果，就可以把学习知识和获得创造能力统一起来。
62.我们要有意识地加强以下几种教育:一是推理意识的教育。让学生知道任何规律和公式都有一定的依据和道理。第二，描绘客观世界和谐意识的教育。第三，形式不变性原理的教育。
63.数学教育的错误往往在于容易将探究部分转化为再现部分，使其失去思维教育的意义。
64.激发学习兴趣，激发学习动机，是数学教育中教师自始至终必须重视的问题。指导学生教学:1。热爱数学，尊重数学的智能活动过程。数学作为大自然的馈赠和人类智慧的创造，具有双重性。一方面，自然和人类社会在运动中始终保持和呈现一种规律，一种和谐，一种不变的守恒性；另一方面，人类利用数学描述的规律，创造了美好的物质世界。2.营造成功教育的氛围，让学生获得思维成果带来的喜悦。
65.创设问题情境，增强解决问题的内驱力。创设问题情境的难度，要学生通过努力达到。创设问题情境的深层次目的是激发学生的潜能。
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